Dear Forum,
The following is a presentation for the 4-generator Burnside group of
exponent 3.
Graham Ellis.
F := FreeGroup(4); G := F/[ F.1^3, F.2^3, F.3^3, F.4^3, F.1^-1*F.4*F.1^-1*F.4*F.1^-1*F.4, F.3^-1*F.2^-1*F.3^-1*F.2^-1*F.3^-1*F.2^-1, F.4*F.1*F.4*F.1*F.4*F.1, F.2*F.1*F.2*F.1*F.2*F.1, F.3^-1*F.1^-1*F.3^-1*F.1^-1*F.3^-1*F.1^-1, F.1^-1*F.3*F.1^-1*F.3*F.1^-1*F.3, F.4*F.3*F.4*F.3*F.4*F.3, F.2*F.4*F.2*F.4*F.2*F.4, F.2*F.4^-1*F.2*F.4^-1*F.2*F.4^-1, F.4*F.3^-1*F.4*F.3^-1*F.4*F.3^-1, F.2*F.1^-1*F.2*F.1^-1*F.2*F.1^-1, F.3*F.2^-1*F.3*F.2^-1*F.3*F.2^-1, F.2*F.4^-1*F.3*F.2*F.4^-1*F.3*F.2*F.4^-1*F.3, F.3^-1*F.1^-1*F.2^-1*F.3^-1*F.1^-1*F.2^-1*F.3^-1*F.1^-1*F.2^-1, F.1^-1*F.2^-1*F.4*F.1^-1*F.2^-1*F.4*F.1^-1*F.2^-1*F.4, F.1*F.2^-1*F.3*F.1*F.2^-1*F.3*F.1*F.2^-1*F.3, F.4*F.1^-1*F.2*F.4*F.1^-1*F.2*F.4*F.1^-1*F.2, F.4*F.1*F.2^-1*F.4*F.1*F.2^-1*F.4*F.1*F.2^-1, F.3*F.1*F.3^-1*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.3*F.1^-1*F.3^-1*F.4*F.1*F.4^-1, F.1^-1*F.3^-1*F.1*F.2*F.3^-1*F.2^-1*F.1^-1*F.3*F.1*F.2*F.3*F.2^-1, F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.2*F.4^-1*F.2^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.2*F.4*F.2^-1, F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.3*F.4^-1*F.3^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.3*F.4*F.3^-1, F.1^-1*F.4*F.1*F.2^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.2^-1*F.1*F.4^-1*F.1^-1*F.4^-1*F.2^-1, F.1^-1*F.4*F.1*F.3^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.3^-1*F.1*F.4^-1*F.1^-1*F.4^-1*F.3^-1, F.3^-1*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.3^-1*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.3^-1*F.4^-1*F.1*F.4*F.1, F.1^-1*F.3*F.1*F.2^-1*F.1^-1*F.3*F.2*F.1^-1*F.2*F.3^-1*F.1^-1*F.3^-1*F.2^-1, F.2^-1*F.4^-1*F.2*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.4^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.2^-1*F.3, F.4*F.1^-1*F.2*F.4*F.1*F.4^-1*F.2^-1*F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.2*F.1^-1*F.2^-1*F.1 , F.2^-1*F.3*F.1^-1*F.3^-1*F.2*F.3*F.1^-1*F.3*F.2*F.1^-1*F.2^-1*F.1^-1*F.3*F.1 , F.3*F.1*F.4^-1*F.1^-1*F.3^-1*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.1*F.4 , F.1^-1*F.2*F.1*F.3*F.1^-1*F.3^-1*F.1*F.2*F.1^-1*F.2^-1*F.3*F.1*F.3^-1*F.2^-1 , F.2^-1*F.3*F.1^-1*F.3^-1*F.1*F.2^-1*F.3*F.1^-1*F.3^-1*F.1*F.2^-1*F.3*F.1^-1*\ F.3^-1*F.1, F.2^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.4*F.3*F.2^-1*F.4*F.3*F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.\ 3^-1*F.4^-1, F.3^-1*F.2^-1*F.3*F.1^-1*F.4*F.1*F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.3*F.2^-1*F.4*F.1^-1*F.4\ ^-1*F.1*F.2, F.3^-1*F.2^-1*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.2*F.3*F.2^-1*F.3^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.4\ ^-1*F.3*F.2, F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.4*F.3*F.4^-1*F.2*F.4*F.2^-1*F.\ 3^-1*F.2*F.3, F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.3^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.4^-1*F.1^-1*F.3^-1*F.1*F.4^-1*F.1^\ -1*F.3*F.1*F.4^-1*F.3, F.3*F.1*F.2^-1*F.3^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.4^-1*F.3*F.2*F.1^-1*F.3^-1*F.2^-1*F.4\ *F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.2, F.2*F.1*F.2^-1*F.3*F.1*F.4*F.1^-1*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.1^-1*F.2^-1*F.1*F.4^-1\ *F.1^-1*F.3^-1*F.4*F.3, F.4^-1*F.3^-1*F.2^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.3*F.4*F.3^-1*F.2^-1*F.4*F.3\ *F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.3, F.4*F.3*F.4*F.2^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.4*F.2^-1*F.4^-1*F.2*F.3^-1*F.\ 2^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.2, F.2*F.3*F.4^-1*F.2^-1*F.4*F.3*F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.3*F.4*F.2^-1*F.3*F.4^-1*F.\ 3^-1*F.2*F.3*F.2^-1*F.4, F.2*F.1^-1*F.4*F.1*F.4^-1*F.2^-1*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.2*F.1*F.4*F.1*F.2*F\ .4*F.1^-1*F.2*F.1^-1*F.4, F.1*F.3^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.4^-1*F.3*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.3*F.1^-1*F.3^-1\ *F.4^-1*F.1^-1*F.3*F.1*F.3^-1*F.4, F.2^-1*F.3*F.1^-1*F.3^-1*F.1*F.2*F.1^-1*F.4*F.1*F.4^-1*F.2^-1*F.1^-1*F.3*F.1\ *F.3^-1*F.2*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.1, F.3^-1*F.4^-1*F.2^-1*F.4*F.3*F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.3*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.3^-1*\ F.2^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.4*F.3*F.1, F.1^-1*F.4*F.1*F.4^-1*F.3*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.3^-1*F.2*F.3*F.1^-1*F.4*F.\ 1*F.4^-1*F.3^-1*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.2^-1, F.3*F.1*F.4*F.1*F.2*F.4*F.1^-1*F.2*F.1^-1*F.4*F.2*F.3^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.4^\ -1*F.2^-1*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.2, F.3*F.1^-1*F.3^-1*F.1*F.2*F.1^-1*F.4^-1*F.1*F.2^-1*F.1^-1*F.3*F.1*F.3^-1*F.2\ *F.3^-1*F.1^-1*F.4*F.1*F.4^-1*F.3*F.4*F.2^-1, F.2^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.4^-1*F.3*F.4*F.2^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1\ *F.3*F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.3*F.2^-1*F.4*F.2*F.3, F.3^-1*F.4^-1*F.2^-1*F.1^-1*F.4*F.3*F.4^-1*F.3^-1*F.1*F.2*F.1^-1*F.4*F.1*F.3\ *F.2^-1*F.3*F.4*F.3^-1*F.4^-1*F.2*F.4*F.1^-1*F.4^-1*F.1, F.4^-1*F.2^-1*F.4*F.3*F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.3*F.4*F.1^-1*F.3*F.1*F.3^-1*F.2^-1\ *F.3*F.4^-1*F.3^-1*F.2*F.3*F.2^-1*F.4*F.2*F.1*F.3*F.1^-1 ];